Matematyka: Liczby całkowite, liczby naturalne, liczby wymierne, wzory skróconego mnożenia [WIDEO]

Liczby całkowite

Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej, która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była mniej więcej postawa uczonych w starożytnej Grecji.

Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych. Wraz z liczbami naturalnymi (oraz zerem) tworzą zbiór liczb całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności. Zbiór liczb całkowitych można więc zdefiniować, jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera.

Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, spełniający następujące warunki:
1. 0 ∈ Z,
2. Jeśli c ∈ Z, to c + 1 ∈ Z i c - 1 ∈ Z

Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych. Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą Z lub C. (za: math.edu.pl)

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Q

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. (za: wikipedia.pl)

Liczby naturalne to liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb.

To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. O konkretnym stanowisku decydują często takie sytuacje jak: uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp. (za: wikipedia.pl)

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki:
1. 0 ∈ N,
2. Jeśli n ∈ N, to n + 1 ∈ N

Ile jest liczb naturalnych? Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.

Wzory skróconego mnożenia są przydatne przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Często ułatwiają sprawne rachunki.

Kwadrat sumy - (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Kwadrat różnicy - (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Sześcian sumy - (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Sześcian różnicy - (a-b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3

Różnica kwadratów - a2-b2=(a-b) x (a+b)

Suma sześcianów - a3 + b3 = (a+b) x (a2 - ab + b2)

Różnica sześcianów - a3 - b3 = (a - b) x (a2 + ab + b2)

Kwadrat sumy trzech składników - (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

*POGODA NA WRZESIEŃ 2013
*Koszmarny wypadek w Jasienicy: Jechał pod prąd i zginął w płomieniach [ZDJĘCIA +18]
*MISS POLKA 2013: Najpiękniejsze dziewczyny Polski wybrane! [ZOBACZ ZDJĘCIA]
*Kolejka Elka już działa! Zobacz całą trasę z lotu ptaka [ZDJĘCIA+ WIDEO]